超関数（数学）：広義関数とその用途

定義と基本的性質

形式的には、超関数は試験関数の空間（通常は、台がコンパクトな無限回微分可能関数の空間）上の連続線形汎関数である。この双対空間は一般に D' と表記される。局所可積分な古典的関数は、試験関数との積分によって超関数を定め、このような超関数は正則と呼ばれる。測度やその他の一般化された密度もこの枠組みに自然に埋め込まれるため、超関数は各点で定義される関数にはなりえない多くの対象を統一的に扱う。

代表的な例

最もよく知られる超関数の一つはディラックのデルタ超関数であり、単位点質量または点電荷をモデル化する。これは試験関数に作用すると、指定された点におけるその試験関数の値を返す。ほかの例として、デルタ超関数の超関数としての原始関数であるヘヴィサイドの階段関数、双極子を表すのに有用なデルタ超関数の導関数、極限操作から生じる主値超関数がある。緩増加超関数はフーリエ解析に適した部分空間をなし、多くの特異な対象に対して変換を定義できるようにする（フーリエ解析）。

演算と極限

超関数には古典的な微積分を拡張する多くの演算が認められるが、古典的な演算の一部には注意が必要である。代表的に許される演算には、次のものがある。

• 微分：すべての超関数は任意の回数だけ微分でき、その定義は試験関数の導関数への作用によって与えられる。
• 滑らかな関数による乗算：超関数は滑らかな関数と乗算でき、その結果も超関数となる。
• 畳み込み：コンパクトな台をもつ超関数、または適切な関数との畳み込みは、両者の両立条件のもとで定義される。

ただし、任意の二つの超関数の積が常に定義されるわけではない。このような場合には、追加の構造または正則化が必要となる。

歴史、動機と応用

この理論は、点質量、電荷分布、インパルスといった理想化された源を通常の関数では表せないという物理学上の問題から生じた。超関数は境界値問題や弱形式のための柔軟な言語を提供し、偏微分方程式に関する存在と一意性の結果を可能にする。物理学では量子場理論や電磁気学における形式的操作を支え（量子電磁力学）、工学ではインパルスやフィルタを扱う信号処理に関連する考え方が用いられる（信号処理）。

重要性と区別

超関数は、関数解析および偏微分方程式論における弱解の概念の中心をなし、ソボレフ空間やスペクトル法と密接に結び付く。超関数は各点で定義された値としてではなく線形汎関数として捉えるべきであり、これが特異な現象を表現できる理由である。計算および理論の作業では、求める演算に応じて緩増加超関数や特定の位相を備えた試験関数空間が選ばれる。例えば、フーリエ変換を利用可能かつ良好な性質をもつものにするためである。

入門的な解説と歴史的な注記については、関数と広義関数に関する一般的な解説を参照。応用的な観点については、偏微分方程式、フーリエ法、物理学に関する資料、すなわち（フーリエ解析）および（偏微分方程式）を参照。