全称量化子（∀）：記法、意味論、証明規則と反例

記法と形式的意味

非形式的には、∀x P(x)は、定義域からどの対象を選んでもP(x)が成り立つことを主張する。「論議領域」または全体集合は明確でなければならない。∀x∈D P(x)は、xがDの範囲を動くことを指定する。記号的な構文では、量化子はその変数を束縛する。∀の作用域内にある変数の出現は束縛変数であり、量化子の作用域に入らない出現は自由変数である。正しく読むには、作用域と順序に注意を要する。たとえば、∀x∃y R(x,y)は、∃y∀x R(x,y)とは意味が異なる。

意味論と論理的性質

意味論的には、全称量化された論理式は、意図された定義域のすべての要素について述語が成り立つ場合に、かつその場合に限り真である。全称量化子と存在量化子は、否定を介して便利な同値関係で結ばれる。¬(∀x P(x))は∃x ¬P(x)と論理的に同値であり、同様に¬(∃x P(x))は∀x ¬P(x)と同値である。この双対性は、証明や論理式を標準形へ変換する際にしばしば用いられる。

規則、証明、反証

演繹体系には、∀に関する標準的な導入規則と除去規則がある。導入規則では、任意に選んだが特定されていない要素tについてP(t)を証明した後に、∀x P(x)を導ける（ただし一定の付帯条件に従う）。除去規則、すなわち全称例化では、∀x P(x)が既知であれば、特定のaについてP(a)を導出できる。全称量化された主張を反駁するには、反例、すなわち述語が成り立たない定義域内の具体的な要素を一つ示せば十分である。この反証法は、数学と日常的な議論の双方で中心的な方法である。

歴史と用法

逆さAの記号は、数学と論理的推論を形式化しようとする取り組みの一部として、20世紀初頭に導入された。全称量化は述語論理の重要な構成要素であり、三段論法における全称前提のような古典的推論形式の基盤にもなっている。日常言語では、全称的な主張は「すべての」「あらゆる」「ない」といった表現に現れ、後者は否定と組み合わされる。その解釈は文脈と暗黙の定義域に依存する。

例と重要な区別

• 例：「すべての人間は死すべきものである」は、∀x (Man(x) → Mortal(x))と形式化できる。
• 自由変数と束縛変数：P(x)ではxは自由であるが、∀x P(x)ではxは量化子によって束縛される。
• 順序は重要である：∀x∃yと∃y∀xは、通常、異なる事実を表す。
• 定義域への依存性：∀x P(x)は、ある全体集合では真であっても、別の全体集合では偽となりうる。厳密さが必要な場合には、常に定義域を指定する（論議領域）。

形式的定義の入門やさらなる例については、量化子、形式的な命題に関する資料、および述語論理を詳しく扱う教科書を参照されたい。実用上の応用は、数論における証明から、コンピュータ科学における性質の仕様記述や形式検証まで多岐にわたる。