測地線とは、曲がった曲面上、より一般には多様体上での「まっすぐな線」にあたる自然な概念です。初歩的には、一次近似では直進からずれず、局所的には距離を最小にする経路を指します。簡潔な数学的入門としては測地線を参照してください。多くの場合、測地線は近い二点間の最短経路と一致しますが、全体としては、二点間に複数の測地線が存在したり、長さを最小にするものが存在しなかったりすることもあります。

定義と基本的性質

形式的には、リーマン多様体上の測地線は、接続を用いて測ったときに加速度が消える曲線です。言い換えると、クリストッフェル記号を含む二階微分方程式、すなわち測地線方程式を満たします。測地線は長さまたはエネルギー汎関数の臨界点であるため、変分法の手法を用いて研究されます。重要な概念には次のようなものがあります。

  • 局所最小性: 測地線は局所的には最短ですが、ある点（カット locus）を越えると大域的には最短でなくなることがあります。
  • 測地線完全性: 測地線を無限に延長できるかどうかは、多様体の重要な位相的性質です。
  • 共役点: 近くの測地線が再び収束する位置で、しばしば一意性や最小性の喪失を引き起こします。

例と区別

平坦なユークリッド空間では、測地線は直線です。球面では大円がそれにあたります。二つの非対蹠点の間には、ただ一つの最短の大円弧がありますが、対蹠点の組では無数の測地線が存在します。トーラスのような、ハンドルをもつ曲面や曲率が変化する曲面では、測地線のパターンはより複雑になり、周期的に輪を描く閉じた測地線が現れることもあります。視覚的・計算的な例としては球面と曲面の測地線を参照してください。

すべての測地線が大域的に最短とは限りません。最小測地線、または測地線セグメントとは、実際に端点間の距離を最小にする部分を指します。ある点での指数写像は、接ベクトルを測地線の終点へ写し、その点のまわりの局所幾何を整理します。

測地線は文脈によって意味が異なります。リーマン幾何学では長さを最小化しますが、ローレンツ幾何学（相対論で用いられる）では、時間的測地線は固有時を局所的に最大化し、最短の空間経路というより自由落下の軌跡を表します。

応用は、実用的な航法（航空機や船舶が地球上で大円航路をたどること）から、理論物理学（一般相対論の世界線）、さらにコンピュータグラフィックス、ロボティクス、建築設計にまで及びます。計算面や応用面のさらなる読書としては測地線の応用を参照してください。

歴史的には、測地線の研究は古典的な微分幾何学から発展し、リーマン幾何学の中で定式化されました。測地線方程式と変分的視点は、幾何学、解析学、物理学を結びつけます。現代の研究でも、複雑な空間における測地線流、安定性、大域構造が引き続き調べられています。