幾何学的トポロジー：多様体・結び目・埋め込み

典型的な対象と概念

中心的な概念には、n次元多様体、埋め込みと浸入、3次元における結び目および絡み目の型、ならびに糸の交換を符号化する組紐群がある。幾何学的トポロジーの研究者は、基本群、ホモロジー、さらに精密な代数的不変量や解析的不変量などを用いて、同値でない対象を区別する。結び目理論と絡み目不変量は、組合せ論的手法と幾何学的手法の双方をもつ主要な下位分野である。例については結び目理論を参照。

歴史と発展

この分野は、幾何学的・解析的・代数的方法が融合した20世紀半ばに急速に発展した。高次元における基礎的成果は、1960年代の手術理論とhコボルディズム定理から生まれた。一方、4次元トポロジーでは例外的な振る舞いが明らかになり、1980年代以降の深い発見へとつながった。近年の進展には、3次元多様体の幾何学的分類と、それに関連する解析的手法が含まれる。歴史的概説はトポロジーの歴史に掲載されている。

方法と応用

代表的な技法として、ハンドル分解、手術、モース理論、双曲幾何学、ゲージ理論的不変量およびフレアー型不変量がある。これらの道具は、幾何学的トポロジーを微分幾何学、代数的トポロジー、数理物理学と結び付ける。具体的な応用には、曲面と3次元多様体の分類、結び目エネルギーやDNAの結び目モデルの研究、力学系および群論との相互作用がある。

下位分野と主な区別

重要な下位分野には、低次元トポロジー（2次元から4次元）、高次元多様体の分類、結び目・組紐理論がある。幾何学的トポロジーは、幾何構造と埋め込みに注意を向ける点で純粋に代数的なトポロジーと異なり、滑らかな構造をもたない場合がある位相多様体も受け入れる点で微分トポロジーとも異なる。典型的な研究課題は以下のとおりである。

• 多様体の分類とエキゾチックな滑らか構造の存在
• 結び目・絡み目不変量、コンコーダンス、コボルディズム
• 多様体上の幾何構造（例：双曲構造）
• 写像類群およびタイヒミュラー理論との関係