二十角形（20辺の多角形）：性質・公式・作図・対称性

性質と基本公式

任意の20辺多角形について、組合せ的および角度に関する主な事項は次のとおりである。

• 辺の数：20、頂点の数：20。
• 内角の和：3,240°。
• 正二十角形の内角：162°、外角：18°。
• 対角線の本数：170本。n(n−3)/2 = 20×17/2 により求められる。

正二十角形の寸法と公式

正二十角形（シュレーフリ記号 {20}）には、一般のn角形の公式から得られる簡潔な関係がある。辺の長さをaとすると、以下が成り立つ。

• 面積：A = (n a2) / (4 tan(π/n)) = 5 a2 / tan(π/20)。
• 外接円半径：R = a / (2 sin(π/n)) = a / (2 sin(π/20))。
• 内接円半径：r = a / (2 tan(π/n)) = a / (2 tan(π/20))。

これらの式は、多角形を中心で交わる20個の二等辺三角形に分割することで得られる。数値計算ではπ/20 = 9°をラジアンで用いる。20 = 4×5であるため、多くの作図や計算では正五角形に関係する正確な三角関数値が利用される。

作図と対称性

20 = 22×5であり、5はフェルマー素数であるため、正二十角形は定規とコンパスで作図可能である。その完全対称群は位数40の二面体群D20で、20の回転と20の反射からなる。実用的な作図では、正五角形または正十角形を作図し、角の二等分を繰り返して20個の等しい中心角を得ることが多い。

変種・星形と用途

正則な凸形だけでなく、二十角形の仲間には星形多角形である二十芒星（イコサグラム）も含まれる。シュレーフリ記号 {20/3}、{20/7}、ならびにkが20と互いに素であるその他の {20/k} がその例であり、異なる結び方をもつ20尖の星形を生じる。二十角形とイコサグラムは、装飾的なモチーフ、平面充填の研究、幾何学教育における多角形の作図に現れる。二十角形に関するより一般的な情報と資料については、二十角形を参照。

実用上の注目点として、外角が18°であることから、正二十角形は円を20等分して配置やデザインを行う際に役立つ。正五角形および正十角形との関係により、閉形式の面積・長さの公式に現れる三角関数定数について、正確な作図と代数的表現が簡単になる。