数学で「比例式」とは、2つの比が等しいことを表す式のことです。たとえば、ある比 a:b と別の比 c:d が等しいとき、比例式は次のように書けます。

比率・割合の基本

比（ratio）は2つの量の関係を表します。たとえば「50は100の何倍か」は比で表すと 50/100 です。割合（percent, パーセンテージ）は「全体を100としたときの比」を表す方法です。比と割合は互いに変換できます。

  • 50/100 = 1/2（50% = 1/2 = 0.5）
  • 75/100 = 3/4（75% = 3/4 = 0.75）
  • 未知の値 x を「x/100 = 3/4」と置けば、x = 75（つまり75%）となります。

比例式の書き方と解き方（外項・内項の利用）

比例式は次の形で表されます。

a/b = c/d

このとき、外項と内項の積が等しくなります（外項×外項 = 内項×内項）。すなわち

a × d = b × c

これを使って未知数を解きます。例：

  • x/100 = 3/4 → 外項内項の積より x × 4 = 100 × 3 → x = 300/4 = 75

代数学や実生活での使い方（例：ガソリン価格）

代数学では、割合や比例式を使って数量の変化や対応関係を解きます。実生活の例として、40ドル分のガソリンに関する問題を見てみます。

問題：ガソリンの価格が1ガロンあたり $3.50 から $3.85 に上がったとき、元の $40 で買えた同じ量のガソリンは新価格でいくらになるか？

考え方：$40 で買えるガソリンの量（ガロン数）は 40 / 3.50 ガロンです。同じ量を新価格 $3.85 で買うと費用 x は次の比例式で表せます。

x / 3.85 = 40 / 3.50

外項・内項の積より：

x = 40 × 3.85 / 3.50 = 44.00

したがって、同じ量のガソリンを買うには $44.00 必要になり、差額は $4.00（= $44.00 − $40.00）です。

別の見方：単価が $3.50 → $3.85 へ増加した割合は 0.35 / 3.50 = 0.10 = 10% です。つまり総費用も 10% 増え、$40 × 1.10 = $44 になります。どちらの方法でも結果は一致します。

よくある計算パターン

  • パーセントから実際の値を求める：全体 × (割合) = 部分（例：80の30% = 80 × 0.30 = 24）
  • 部分から割合を求める：部分 ÷ 全体 = 割合（例：24 ÷ 80 = 0.30 = 30%）
  • 比を簡約する：50/100 = 1/2 のように、分子・分母を共通因数で割る
  • 比例で未知数を求める：a/b = c/d の形で外項・内項の積を使う

まとめ

比例式（a/b = c/d）は、比や割合を使った問題を解く基本的な道具です。外項×外項 = 内項×内項（a×d = b×c）を使って未知数を求め、パーセンテージの計算では小数（0.75 など）に直して計算するとわかりやすくなります。実生活では価格の変化や割合の比較などに頻繁に使われます。