集合の濃度：有限・無限集合の大きさを測る
濃度とは何かを解説します。数学者が全単射と単射を用いて有限集合・無限集合の大きさを定義・比較し、有限、可算、非可算に分類する方法を紹介します。
数学において、濃度とは、ある集合に属する要素の個数を表す用語である。たとえば、集合A = {2, 4, 6}は3つの要素を含むため、その濃度は3である。集合Aの大きさは、しばしば縦棒を用いる記法|A|で表される。
集合の大きさの比較
2つの集合が同じ、すなわち等しい濃度をもつのは、それらの要素の間に一対一対応が存在するとき、かつそのときに限る。言い換えると、一方の集合の各要素を他方の集合のちょうど1つの要素に対応させ、逆も同様に対応させる組合せがあれば、両集合の濃度は等しいことが示される。
Aの濃度がBの濃度以下であることを表すには、AからBへの単射を与えればよい。このような単射が存在するとき、Aの各要素はBの相異なる要素に写される。したがって、Aの異なる2要素がBにおける同じ像を共有することはない。逆に、BからAへの単射があれば、Bの濃度はAの濃度以下である。
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有限濃度と無限濃度
集合が有限個の要素をもつ場合、その濃度は自然数（0、1、2、…）である。無限集合には自然数で表される大きさはなく、単射・全射・全単射などの対応によって濃度を比較する。無限集合のうち、整数全体と一対一に対応づけられるものは可算無限集合と呼ばれる。一方、そのような対応ができないものは非可算と呼ばれ、これらの概念により無限の大きさをより細かく分類できる。
濃度と他の大きさの概念
濃度は、要素を数えること、または対応を確立することによって集合に大きさを与える形式的な方法の一つである。たとえば解析学における測度など、ほかの数学的概念は長さ・面積・確率といった「大きさ」の別の側面を数量化するものであり、濃度とは異なる目的をもつ。
関連項目
著者
AlegsaOnline.com 集合の濃度：有限・無限集合の大きさを測る Leandro Alegsa
URL: https://ja.alegsaonline.com/art/16947