直方体：定義、幾何学、公式、用途

幾何学と主な特徴

直方体の典型的な特徴は次のとおりである。

• 面：6
• 辺：12
• 頂点（角）：8
• 面の形：長方形の直方体では通常は長方形である。より一般には、任意の四辺形で凸な六面体を構成できるが、そのような形は通常、別の名称で分類される。

隣り合う面がすべて直角に交わるものは、長方形の直方体、または直角四角柱と呼ばれる。幾何学の授業では、直方体はしばしば長方形の三次元的な対応物として導入される。二次元の長方形と三次元の直方体を比較するとよい。

公式と測定

長さを l、幅を b、高さを h とする。長方形の直方体における標準的な量は次のとおりである。

• 体積：V = l × b × h。これは立体が内部に含む空間の大きさを表す（単位³）。
• 全表面積：TSA = 2(l×b + b×h + h×l)。6つすべての長方形の面積の和である（単位²）。
• 面対角線：辺の長さが l と b である面の対角線は √(l² + b²) である。他の面についても同様に求められる。
• 空間対角線（立体対角線）：向かい合う2つの頂点を結ぶ最長の直線は √(l² + b² + h²) である。

これらの公式は、長方形の面積と、対角線に対するピタゴラスの定理という基本的なユークリッド幾何学から導かれる。数値で答える場合は、適切な単位を付け、必要に応じて文脈に合わせて丸める。

関係、区別、表現

長方形の直方体は角柱の一種であり、長方形を底面とする直角柱である。平行六面体とは異なり、平行六面体では直角ではない平行四辺形の面をもつことがある。実用的な文脈では、「箱」や「れんが」も近い表現である。座標幾何学では、座標軸に平行な直方体は、x₁ ≤ x ≤ x₂、y₁ ≤ y ≤ y₂、z₁ ≤ z ≤ z₂ を満たす点 (x,y,z) の集合として記述できる。直方体は展開図にすることもでき、立方体には相異なる展開図が11種類ある。これはすべての面を一つの平面図形として視覚化する助けとなる。

歴史、名称、注目すべき事実

塊状の立体という概念は、古典幾何学および実用的な建築の全体に見られる。英語の cuboid は、cube（立方体）と接尾辞 -oid（「～状の」）に由来する。数学文献では、面が長方形である場合、rectangular solid、right rectangular prism、box という用語がしばしば同じ意味で用いられる。多面体と三次元立体の入門については、多面体および凸立体に関する一般的な資料を参照されたい（多面体の概要）。

用途と例

直方体は、輸送用コンテナ、部屋、れんが、シリアルの箱、多くの機械部品など、日常的な物体や工学的部品をモデル化する。梱包問題、建築計画、製造、コンピュータグラフィックスにおいて利用され、後者では座標軸に平行な境界ボックスやボクセルが例となる。教育では、直方体は体積、表面積、空間的推論を教えるための分かりやすい例を与える。さらに読むため、また対話的な解説については、幾何学の入門資料や、角柱・立体に関する教育用ページを参照されたい（四辺形の面、三次元の形、角柱の定義）。