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変位ベクトルとは？位置の変化を表すベクトルの基本

変位ベクトルは、2点間の位置の直線的な変化を表すベクトルです。大きさと向きをもち、距離とは異なり、運動学やベクトル解析で重要です。

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変位ベクトルは、ある点が初期位置から最終位置へどれだけ、どの方向に移動したかを示す数学的対象です。数学では、2点を結ぶベクトルとして表され、図ではしばしば始点から終点へ向かう矢印として描かれます。

定義と基本的な性質

形式的には、変位 Δr は最終位置ベクトル r2 から初期位置ベクトル r1 を引いたものとして、Δr = r2 − r1 と表されます。このベクトルには、大きさ（2点間の最短距離）と向きの両方が含まれます。経路の長さとは異なり、変位は通った道筋ではなく、出発点と到着点だけに依存します。変位はベクトルの一種であるため、加法やスカラー倍の通常の規則に従います。

成分表示と記法

座標表示では、平面内の変位は Δr = (Δx, Δy) と書けます。このとき Δx = x2 − x1、Δy = y2 − y1 です。3次元では第3成分 Δz が加わります。大きさ |Δr| = sqrt(Δx² + Δy² [+ Δz²]) は直線距離を与えます。図形的には、ベクトルは向きをもつ線分として表され、2つの位置のあいだの最短、すなわち直線として説明されることもあります。

物理学と運動学での利用

変位は、特に力学や運動学において物理学の基礎となる概念です。平均速度は変位を時間間隔で割ったものとして定義されるため、距離が同じでも変位が異なれば平均速度は異なります。また、変位は運動を他の量と結びつける際にも現れます。たとえば、速さはスカラー量であり、加速度は速度の変化から導かれるベクトルです。

例と重要な区別

  • 東へ100m歩いてから西へ100m戻ると、移動距離の合計は200mですが、正味の変位は0です。
  • 周回コースを運転すると走行距離は大きくなりますが、出発点と到着点の変位は小さい場合があります。
  • 変位ベクトルは先端から根元へつないで加えます。2つの連続した変位 Δr1 と Δr2 は、Δr1 + Δr2 として合成されます。

変位を理解すると、運動に関する多くの基本概念が明確になります。正味の変化と累積した経路長を区別し、移動の向きを含む尺度を与え、応用数学や物理学全体で用いられるベクトル演算と自然に結びつきます。

関連項目

著者

AlegsaOnline.com 変位ベクトルとは？位置の変化を表すベクトルの基本

URL: https://ja.alegsaonline.com/art/27706

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