発散（ベクトル解析）

定義と記法

空間のある領域で定義されたベクトル場 F = (Fx, Fy, Fz) が与えられたとき、発散は通常 div F または ∇・F と書かれる。記号 ∇（ナブラ）は勾配に関係する微分作用素を表し、中央の点は、その作用素とベクトル場との内積を示す。したがって発散は、各点でスカラー値を生成する偏微分の特定の組合せである。

座標による表式

3次元のベクトル場 F(x,y,z) = (Fx, Fy, Fz) に対し、直交座標では発散は次の簡明な形をとる。

• div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z。

円筒座標、球座標、あるいはより一般の曲線座標など、他の座標系では、式には計量因子およびその座標に適した微分が含まれる。局所的な意味は同じであるが、面積要素と体積要素を反映するため、明示的な表式は変化する。

物理的解釈と例

物理的には、発散は密度が無限小体積から流出する、またはそこへ流入する割合を表す。非圧縮性流体では、速度場の発散はあらゆる点でゼロであり、流体が局所的に蓄積も損失もしていないことを示す。静電気学では、ガウスの法則が電場の発散を局所的な電荷密度に結び付ける。正電荷の領域は電場の源として、負電荷の領域は吸い込み口として働く。

発散定理と歴史的事項

発散と積分を結び付ける中心的な結果が発散定理である。これはガウスの定理、またはガウス＝オストログラツキーの定理とも呼ばれる。この定理は、体積にわたる div F の積分が、その体積の境界面を通る F の流束に等しいことを述べる。発散定理は体積積分を面積分へ変換し、多くの保存則および偏微分方程式の手法の基礎となる。この定理と発散作用素そのものは、18世紀および19世紀における古典解析とベクトル解析の発展から生まれた。

用途、計算、他の概念との相違

発散は、密度の時間変化を流れの発散と関連付けることで質量または電荷の保存を表す連続の式などの保存則に現れる。また、流束を離散化する有限体積法および有限要素法において計算上も用いられる。場の局所的な回転を測る回転とは異なり、発散は膨張または収縮を捉える。問題を解析する際には、ベクトル場の局所的な振る舞いの異なる側面を特徴付けるため、div と回転の両方を計算することが一般的である。基本用語の定義については、数学、微分作用素、ベクトル、スカラーを参照。

実用上の注意

発散を数値的に計算する際には、座標系と微分の離散化を適切に扱う必要がある。特異点や不連続性、たとえば点電荷や衝撃波面がある場合には、分布の意味で発散を解釈するか、弱形式を用いて扱うことが必要となる。さらに技術的な背景や計算例については、標準的な文献またはオンライン資料を参照できる。勾配と内積に関する資料は有用な予備知識を与え、マクスウェル方程式の解説も役立つ。