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微分作用素：定義、階数、線形性、応用

微分作用素の定義、階数と線形性、常微分・偏微分の場合、定義域と例、および微分方程式、物理学、応用数学における役割の概要。

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数学、とりわけ微分積分学において、微分作用素とは、関数を入力として別の関数を返す作用素である。このような作用素は、一つまたは複数の変数について微分を行う。異なる階数の導関数を組み合わせたり、それ自体が関数である係数を伴ったりすることもある。

記法と簡単な例

最も基本的な例は一階微分である。よく用いられる記法には、ライプニッツの記法とオイラーによる一文字の記号がある。ライプニッツの記法では作用素を d/dx と書き、オイラーの記法では D と書く。

関数 f(x) にこの作用素を適用すると、導関数 f'(x) = (d/dx)f(x)、すなわち Df(x) が得られる。導関数の反復適用や導関数についての多項式表現を扱う際には、オイラーの記法という名称がしばしば用いられる。

種類と主な性質

  • 階数。 微分作用素の階数は、含まれる導関数のうち最も高い階数に等しい。例えば二階の作用素は二階導関数を含む。
  • 線形性。 解析学や物理学で扱われる多くの微分作用素は線形である。定数 a、b と適切な関数 f、g に対し、微分作用素 D は D(af + bg) = aDf + bDg を満たす。
  • 常微分と偏微分。 常微分作用素は一変数関数に作用する。一方、偏微分作用素は複数の変数に関する導関数を含み、多変数関数を微分するために用いられる。
  • 定義域。 作用素は十分に滑らかな関数の空間、例えば C^k や C^∞ 上で定義される。より広い枠組みでは、分布（一般化関数）に作用するよう拡張できる。

典型的な構成には、関数係数をもつ D の多項式、例えば a(x)D^2 + b(x)D + c(x) がある。また、∂/∂x のような偏導関数やラプラシアンから構成される作用素も含まれる。微分作用素は、微分方程式、数理物理学、および応用数学の多くの分野における中心的な対象である。

関連項目

著者

AlegsaOnline.com 微分作用素：定義、階数、線形性、応用

URL: https://ja.alegsaonline.com/art/27348

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