体（数学）：定義、性質、例

定義する性質

非形式的には、体は予測可能な算術を保証する公理を満たす二つの演算をもつ集合 F である。主な公理は次のとおりである。

1. 加法について可換群であること。加法単位元 0 が存在し、各要素は加法逆元をもつ。
2. 零でない要素が乗法について可換群をなすこと。0 と異なる乗法単位元 1 が存在し、各零でない要素は乗法逆元をもつ。
3. 分配法則。乗法は加法に対して分配的である。

これらの公理から、約分法則や、分母が零でない場合に一次方程式を解けることなど、よく知られた規則が導かれる。形式的な扱いについては、公理および体論を参照。

代表的な例と構成

基本的な例には、有理数 Q、実数 R、複素数 C があり、いずれも通常の算術演算により体をなす。有限体はしばしば GF(p) または Fq と表され、素数冪個の要素をもつ大きさについて存在し、応用で中心的な役割を果たす。多項式から体を構成することや、商構成をとることもできる。これらの方法は、代数学全体で用いられる拡大体を生み出す。例および構成法は具体的なモデルを示す。

歴史と発展

現代的な体の概念は、19世紀に方程式と数体系に関する研究から発展した。とりわけガロアやデデキントなどの数学者の貢献が重要であった。代数学の成熟とともに抽象的な公理化が現れ、現在では体論と呼ばれる分野へとつながった。体論は代数的整数論と代数幾何学の基盤をなしている。

用途、区別、注目すべき事実

ベクトル空間は体上で定義されるため、体は線形代数学の基礎である。また、数論、代数幾何学、符号理論、暗号学などの分野でも重要である。区別すべき概念として、乗法逆元を欠く場合がある環、および零因子をもたないが、必ずしもすべての除算を許すわけではない整域がある。応用については、線形代数学、暗号学、符号理論を参照。