ハイゼンベルクの不確定性原理

オブザーバー効果との混同

歴史的に、不確かさの原理は、オブザーバー効果と呼ばれる物理学のやや類似した効果と混同されてきました。これは、あるシステムの測定は、そのシステムに影響を与えずに行うことができないというものです。ハイゼンベルグは、このようなオブザーバー効果を量子レベルで量子の不確かさの物理的な「説明」として提示しました。

しかし、不確定性原理がすべての波動系の性質であることが明らかになりました。それは、量子力学において、すべての量子物体の物質波動性に起因して単純に生じます。このように、不確定性原理は、実際には量子系の基本的な性質を述べているものであり、現在の技術の観測の成功についての発言ではありません。"測定"とは、単に物理学者と観測者が参加するプロセスを意味するのではなく、古典的なものと量子的なものとの間の相互作用を、観測者の有無に関係なく意味しているのです。

不確定性の考え方

不確定性の原理は、ヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学に由来する。マックス・プランクは、光の単位のエネルギーは、その光の周波数に比例すること（E ∝ ν {\displaystyle E\propto \nu }）、エネルギー量は、比例定数を用いてジュールなどの身近な言葉で表現できることをすでに知っていた。彼が世界に与えた定数は、今ではプランク定数と呼ばれ、hという文字で表されている。 量子力学を表現するために行列を使う場合、物理学者が見つけようとしている答えを与える第3の行列を得るために、しばしば2つの行列を乗算しなければならない。しかし、P（運動量）のような行列にX（位置）のような行列を乗算すると、XにPを乗算したときとは異なる答えの行列が得られます。プランク定数を書くのに使われる数は，常に使用している測定系に依存します．周波数とエネルギーの比を示す右図の線の傾きも、選択した測定系に依存します。

次の図は、位置と運動量の両方を測定しようとするとどうなるかを示しています。

この数学的発見の実用的な結果は、物理学者が位置をより明確にすると運動量がより明確にならなくなり、物理学者が運動量をより明確にすると位置がより明確にならなくなるということです。ハイゼンベルクは物事は「不確定だ」と言い、他の人は「不確定だ」と言うのが好きでした。しかし、数学が示しているのは、世界の物事が不確定であったり、曖昧であったりすることであって、人間が何が起こっているのかわからないということではないのです。

スプリングマウント穴で運動量を測定


中心の隙間をバネで吊るすことで運動量を測ることができますが、予測できないほど隙間を移動させてしまうため、光子の位置情報が失われてしまいます。


狭い穴、拡散焦点


ギャップを狭くすることで、光子が真ん中にあることの確実性は高まりますが、そこから右側の検出画面までの方向は、それに応じて不確実性が高くなります。


ワイドホール、シャープフォーカス

不確定性を数学的な形にする

ここでは、後にハイゼンベルクの不確定性原理で示される基本的な考え方を与えた最初の式を示します。

1925年のハイゼンベルグの画期的な論文は、行列を使わず、行列についても言及していない。ハイゼンベルグの大成功は、水素放射の「関連する物理的性質（遷移周波数と振幅）を一意に決定することが原理的に可能なスキーム」であった。

ハイゼンベルクは画期的な論文を書いた後、それを先生の一人に渡して直してもらい、休暇に行った。マックス・ボルンは、その方程式と、ハイゼンベルクでさえ問題だと思っていた非共役方程式に戸惑った。数日後、ボルンはこれらの方程式が行列を書き出すための指示であることに気づいた。行列は当時の数学者にとっても新しくて奇妙なものであったが、行列を使って数学をする方法はすでにはっきりと知られていた。ハイゼンベルグが休暇から戻ってくる前に、彼と他の数人の研究者たちはすべてを行列形式で書き出した。

マックス・ボルンは，pqとqpを表す行列を計算したときに，それらが等しくならないことを見抜いていた．ハイゼンベルクは，独自の書き出し方という点ではすでに同じことを見ていたが，ボーンにとってはすぐにわかったこと，つまり，pqとqpの答えの行列の差は，常にハイゼンベルクの独自の数学から出てくる2つの因子が関係しているということを，ハイゼンベルクは推測していたのではないだろうか．プランクの定数hと負の1の平方根であるiである。つまり、ハイゼンベルクが好んで「不確定性の原理」（通常は不確定性の原理として知られている）と呼んでいたものの考え方そのものが、ハイゼンベルクの元の方程式の中に隠れていたのです。

ハイゼンベルグは、電子がエネルギーレベルを変えて原子の中心に近づいたり、中心から遠ざかったりするときに原子に起こる変化、特に電子が2段階でエネルギーの低い状態に落ちていく状況に注目していた。マックス・ボルン氏は、エネルギーレベルnからエネルギーレベルn-bへの原子の変化の積Cを求めるためのハイゼンベルグの奇妙な「レシピ」をどのように利用したのかを説明した。

C ( n , n - b ) = ∑a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {displaystyle C(n,n-b)=sum _{a}^{},A(n,n-a)B(n-a,n-b)} } } }

と、画期的なことを発見しました。

ハイゼンベルクは... 例題を検討することで この法則....を発見した 1925年の夏のことであるハイゼンベルクは... 休暇を取って 論文を私に渡して出版した。 ....

ハイゼンベルクの掛け算の法則は私には何の平穏も与えず、一週間ほど集中的に考え、試行錯誤した後、ふとある代数学的理論....法則をハイゼンベルグの量子条件に当てはめてみると、対角線の要素については一致することがわかった。残りの要素が何であるかを推測するのは簡単で，すぐに次のような奇妙な公式が目の前に現れました。

Q P - P Q = i h 2 π {displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2}pi }}}}(
記号Qは変位の行列、Pは運動量の行列、iは負の1の平方根、hはプランク定数を表す)

その後、ハイゼンベルクは自分の発見を別の数学的な形にした。

 

(特別な記号が、「h-bar」と呼ばれる「reduced Planks constant」は、h 2 π {\displaystyle {\frac {h}{2pi }}}に等しい。.)

数学は、現実の世界で起こることを記述する方法です。何かの正確な位置とその正確な質量、経路、速度を同時に求めるのは簡単だと想像するかもしれません。しかし、実際には、答えを得るためには2つのことをしなければなりません。どこかの大きな山の崖にはまっている弾丸の位置と運動量を測るのであれば、それは簡単なことです。山はどこにも行っていないように見えますし、弾丸もそうではありません。だから、位置はわかっているし、速度も0なので、運動量も0なのだが、銃と標的の間のどこかに弾丸があると、いつでも位置を把握するのは難しいだろう。私たちができる最善の方法は、非常に速いシャッターのカメラを使ってその写真を撮ることかもしれません。勢いを得るためにパラフィンの塊を弾丸の通り道に置き，弾丸を止めたときにパラフィンの塊がどのように動いたかを測定するかもしれません．あるいは，弾丸の質量がわかっていれば，2枚の写真を連続して撮り，弾丸の2つの位置とその2つの出現の間の時間の差を知って速度を計算するかもしれません．しかし、それを行うには、質量と位置、出現するまでの時間を測定する必要があります。その場合、どの測定を最初に行い、どの測定を2番目に行うかを選択しなければなりません。どの順番で測定しても違いはないようです。弾丸の質量を測定してからその位置を2回測定するか、弾丸の位置を2回測定してから弾丸を回収して質量を測定しても、何の違いもないのではないでしょうか？結局のところ、弾丸の重さを測るときも、弾丸の写真を撮るときも、何もしていません。

しかし、電子のようなものを測定しているときの非常に小さなスケールでは、各測定はそれに何かをしています。最初に位置を測定すると、その過程で電子の運動量が変化します。電子の運動量を先に測定すると、その過程で電子の位置が変わります。私たちが望むのは、どちらか一方を測定し、何かが変わる前にもう一方を測定することですが、測定すること自体が変化をもたらします。その最小のエネルギー量は、その要因の一つとしてプランク定数を持っています。

不確実性は行列計算を超える

ハイゼンベルクの不確定性原理は、「新しい」量子物理学の初期の方程式に見出され、行列数学を使って理論を与えた。しかし、不確定性原理は自然界に関する事実であり、エルヴィン・シュレーディンガーが作った方程式など、量子物理学の他の話し方にも現れています。

自然界の不確定性、人間の不確定性ではなく

ハイゼンベルクが発見したことについては、これまで2つの非常に異なる見方がありました。ある人は、自然界で起こることは「決定的」なものであると考えています。また、自然界で起こることは確率によってのみ導かれると考える人もいますが、私たちは、物事が平均的にどのように振る舞うかを知ることしかできません。

物理学者のジョン・スチュワート・ベルは、最初の方法が正しいはずがないことを証明する方法を発見しました。彼の仕事は、ベルの定理またはベルの不等式と呼ばれています。

人気のある文化

量子跳躍」や「量子ジャンプ」という表現は、何か大きな変化や変革を意味するものとして捉えられており、政治家やマスメディアのセールスキャンペーンなどで誇張的な表現としてよく使われています。量子力学では、原子核の周りのある軌道から他の軌道への電子の遷移を説明するために使用されます。

市販の商品名や事業名に「量子」という言葉が使われていることがあります。例えば、ブリッグス・アンド・ストラットンは、芝刈り機やロータリー耕うん機などの小型機械用のガソリンモーターを数多く製造しています。彼らのモデル名の一つに"Quantum"があります。

不確かさの原理は、原子レベルでの特定の測定は、他の測定を妨げることなく行うことができないことを教えてくれるので、ある個人は、観察者の活動が見ているものを変化させる人間の世界の例を表現するためにこの考えを使用しています。人類学者は、人々がそこでどのように生活しているかを知るために遠く離れた場所に行くかもしれませんが、外の世界から見知らぬ人がそこにいて彼らを見ているという事実は、その人たちの行動を変えるかもしれません。

観察されているものを変更する物事を観察している間に人々が行うことは、オブザーバー効果のケースです。人が行ういくつかのことは、原子の非常に小さなレベルで変化を引き起こし、ハイゼンベルクによって最初に説明された不確実性または不確定性のケースです。不確実性の原理は、位置や速度、軌道や運動量などの特定の測定の組をどれだけ小さくできるかには常に限界があることを示しています。オブザーバー効果は、人々が物事を観察する際に行うこと、例えば、庭の道具を使ってアリのコロニーを掘り起こすことによってアリのコロニーについて学ぶことは、時々、彼らが学ぼうとしていたことを変えるような大きな効果をもたらすことがある、と述べています。