シュレーディンガー方程式

シュレーディンガー方程式は、微分方程式（未知数ではなく未知関数を含む方程式の一種）で、素粒子の振る舞いに関する最も正確な理論の一つである量子力学の基礎を形成しています。これは、1925年にアーウィン・シュレーディンガーによって考え出された数学的な方程式です。これは、与えられた時間ごとに空間のすべての点で特定の値を持つ粒子またはシステム（粒子のグループ）の波動関数を定義します。これらの値には物理的な意味はありませんが（実際、それらは数学的に複雑です）、波動関数には粒子やシステムについて知ることができるすべての情報が含まれています。この情報は、位置、運動量、エネルギーなどの物理的特性に関連した実際の値を返すように波動関数を数学的に操作することで見つけることができます。波動関数は、この粒子やシステムが時間とともにどのように作用するかを描いたものと考えることができ、それを可能な限り完全に記述しています。

波動関数は一度にいくつもの異なる状態になることができるので、粒子は同時に多くの異なる位置、エネルギー、速度、または他の物理的特性を持つことができます（すなわち、「一度に2つの場所に存在する」）。しかし、これらの特性の一つが測定されると、それは一つの特定の値しか持たず（これは確実に予測することができません）、したがって波動関数は一つの特定の状態にあります。これを波動関数崩壊といい、観測や測定という行為によって引き起こされるようです。波動関数崩壊の正確な原因や解釈については、科学界ではまだ広く議論されています。

空間の一方向にしか動かない1つの粒子については、シュレーディンガー方程式は次のようになります。

t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=iH\frac {IH\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,IH\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} は $\Psi (x,\,t)$ 波動関数であり、V ( x ) {\displaystyle V( $V(x)$ )} は位置の未選択関数であるポテンシャルエネルギーである。左側は、Ψ {\displaystyle \Psi }に作用するハミルトニアンエネルギー演算子に相当する。 $\Psi$ .

ウィーン大学のエルヴィン・シュレーディンガーの胸像。シュレーディンガーの方程式も描かれている。

時間に依存しないバージョン

波動関数 Ψ ( x , t ) {\displaystyle 없다(x,t)}と仮定すると $\Psi (x,t)$ は分離可能です。つまり、2つの変数の関数が1つの変数の2つの異なる関数の積として書けると仮定しています。

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

次に、偏微分方程式の標準的な数学的手法を用いて、波動方程式を2つの異なる微分方程式に書き換えることができることを示すことができます。

i 涙を流している人がいます。 $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- 症状が悪化した場合は、「２０１０F」を参照してください。 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

ここで、最初の式は時間T ( t )のみに依存している。 $T(t)$ で、２式目は位置ψ ( x )にのみ依存する。 $\psi (x)$ であり、ここでE {displaystyle E $E$ }は単なる数である。最初の式はすぐに解くことができます。

T ( t ) = e - i E t 駭馗Ll_210F CATEGORIES {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

ここで e {displaystyle e} はオイラー数 $e$ である。第二式の解は、ポテンシャルエネルギー関数V ( x ) {\displaystyle V(x)}に依存する。 $V(x)$ したがって、この関数が与えられるまでは解けない。数E {displaystyle E} $E$ が実際には系のエネルギーであることを量子力学で示すことができるので、これらの分離可能な波動関数は、一定のエネルギーの系を記述することができる。多くの重要な物理系（例えば、原子の中の電子）では、エネルギーが一定であるので、上で紹介した分離微分方程式のセットの第２の式がよく使われる。この方程式は、時間に依存しないシュレーディンガー方程式として知られています $t$ 。

波動関数の解釈

生まれつきの解釈

波動関数には多くの哲学的解釈がありますが、ここではいくつかの代表的な考え方を紹介します。ボーン確率解釈（物理学者マックス・ボーンにちなんで名付けられた）と呼ばれる主要な考え方は、波動関数が正方可積分であるという単純な考え方に由来しています。

∫ - ∞ ∞｜Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {displaystyle int _{-\infty }^{\infty }! $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

この単純な公式は物理的に大きな意味を持っています。ボーンは上記の積分が粒子が空間のどこかに存在することを決定していると仮説を立てました。しかし、それをどうやって見つけることができるのでしょうか？それを見つけるためには

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle int _{b}^{a}! $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

ここで、P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)}は、b {\displaystyle b}から $b$ a {displaystyle a}までの領域で粒子を見つける確率 $P(b<x<a)$ である。つまり、一般的に粒子について事前に知ることができるのは、その物理量（位置、運動量など）に関連した確率、平均、その他の統計量だけである。基本的には、これがボルンの解釈である。

コペンハーゲン解釈

上記の考え方の延長線上に、次のようなことが考えられる。Bornの解釈では、実際の位置の粒子がわからないので、次のように導出できる。

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}+dots +c_{n}\Psi _{3}+dots +c_{n}\Psi _{n}}。 $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

は解でもあります。これは、粒子があらゆる位置に存在することを意味します。観察者が来て粒子の位置を測定すると、重ね合わせは一つの可能な波動関数に還元される。(すなわち、Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}) $\Psi _{s}$ ♪♪ → Ψ ｎ {displaystyle \Psi _{n}}。 $\Psi _{n}$ ここで、Ψ n {displaystyle \Psi _{n}}は $\Psi _{n}$ 、可能な波動関数の状態のいずれかである。)粒子の位置を正確に知ることができず、同時に複数の位置に粒子が存在するという考えから、不確実性の原理が生まれます。この原理の数学的定式化は次のように与えられます。

Δ x Δ p > 袂を分かってくれるかな？ $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

ここで、Δ x {displaystyle \Delta x $\Delta x$ } は位置の不確かさであり、Δ p {\displaystyle \Delta p $\Delta p$ } は運動量の不確かさである。この原理は、量子力学で定義されている運動量と位置のフーリエ変換から数学的に導き出すことができるが、ここでは省略する。

その他の解釈

他にも多世界解釈や量子決定論など様々な解釈があります。

質問と回答

Q:シュレーディンガー方程式とは何ですか?

A: シュレーディンガー方程式は、量子力学の基礎となる微分方程式で、1925年にエルヴィン・シュレーディンガーによって考え出されたものです。粒子やシステムの波動関数を定義するもので、空間の各点で、与えられた時間ごとに一定の値を持つものです。

Q: 波動関数を操作することで、どのような情報が得られるのでしょうか?

A:波動関数を数学的に操作することで、位置、運動量、エネルギーなどの物理的性質に関する実数値を見つけることができます。

Q: 1つの粒子が同時に多くの異なる位置、エネルギー、速度などの物理的性質を持つとはどういうことですか?

A: これは、波動関数が一度に多くの異なる状態になる可能性があるため、粒子が同時に多くの異なる位置、エネルギー、速度または他の物理的特性を持つ可能性がある（すなわち「一度に2つの場所にいる」）ことを意味しています。

Q: 波動関数の崩壊とは何ですか?

A: 波動関数の崩壊とは、これらの特性の1つを測定したときに、それが1つの特定の値（確実に予測することができない）しか持たず、したがって波動関数がただ1つの特定の状態にあることである。これは、観測や測定という行為によって引き起こされるようです。

Q: シュレーディンガー方程式の構成要素にはどのようなものがあるのでしょうか?

A: シュレーディンガー方程式の構成要素は、平方根-1に等しいi、縮小プランク定数を表す↪Ll_210F、時間を表すt、位置を表すx、波動関数を表すΨ（x , t）、位置の未選択関数としての位置エネルギーを表すV（x）です。

Q: 波動関数の崩壊はどのように解釈すればよいのでしょうか?

A: 波動関数崩壊の正確な原因や解釈は、科学界でまだ広く議論されています。