線形写像（線形変換）｜定義・性質・行列表現・応用

主要な性質

線形性からは、f(0)=0 が成り立つこと、線形結合に f を適用した結果は各像の同じ線形結合となること、部分空間の像は部分空間となることなどが従う。核（零空間）と像（値域）は、写像を分類し次元を計算するために用いられる基本的な不変量である。

• 加法性：f(u+v)=f(u)+f(v)。
• 斉次性：f(cu)=c f(u)。
• 核と像：ker(f) と im(f) は、単射性および全射性が成り立たない度合いを測る。

行列表現

定義域と終域の基底を選ぶと、すべての線形写像は行列で表現できる。線形写像の合成は行列の積に対応し、可逆な線形写像は可逆行列に対応する。基底を変換すると、行列表現には相似変換または共役変換が施される。基本的な参照先として線形写像と行列を参照。

例と応用

ユークリッド空間における回転、反射、射影、拡大・縮小は、いずれも行列で表される線形写像の代表例である。線形写像は、物理学、工学、コンピュータグラフィックス、データ解析、微分方程式における系のモデル化に用いられる。有限次元の例は階数、行列式、固有値の計算とともに教えられることが多く、無限次元の例は関数解析に現れる。

歴史と文脈

この概念は19世紀の代数学と幾何学の一部として発展し、ベクトル空間の公理の発展に伴って形式化された。現代の扱いでは、線形写像は抽象的な代数構造および圏論的観点の中心に位置づけられる。背景と厳密な定義については一般的な参考文献およびベクトル空間の入門書を参照。

区別と注目すべき事実

ベクトル空間間の関数がすべて線形であるわけではなく、平行移動のような非線形写像は線形写像に含まれない。線形写像は原点と、原点を通る直線を保つが、追加の構造である内積を保たない限り、長さや角度を保つ必要はない。計算手法では、線形写像に関する問題はしばしば行列アルゴリズムへと帰着される。さらに、標準形やスペクトル理論などの主題がある。詳細は発展的な話題を参照。