数値積分（求積法）：手法、誤差、応用

代表的な手法

広く用いられる公式には複数の系統があり、それぞれ精度、計算コスト、頑健性の間で異なるトレードオフを持つ。ニュートン・コーツ公式には台形公式およびシンプソンの公式が含まれ、部分区間ごとに被積分関数を低次多項式で近似し、その多項式を厳密に積分する。古い入門的解説については参考文献3に記録されている。ガウス求積法は、所定の点数で可能な限り高い次数までの多項式に対して公式が厳密となるよう、評価点と重みの両方を選ぶ。その歴史的・計算上の注記は参考文献4で参照できる。

このほか、有用な手法として、許容誤差が満たされるまで区間を細分する適応型合成公式、台形公式にリチャードソン外挿を適用するロンバーグ積分、高次元またはノイズを含む問題に適したモンテカルロ積分などがある。補間に基づく手法では、通常、多項式またはスプラインを用いて、既知の標本点の間の被積分関数を表現する。この主題は参考文献5および参考文献6でより詳しく説明されている。

誤差、収束と実用上の考慮事項

求積公式の誤差の挙動を理解することは、手法の選択と調整の中心となる。誤差推定はしばしば被積分関数の導関数に依存する。たとえば、単純なニュートン・コーツ公式の誤差項には、区間内のどこかで評価された高階導関数が含まれる。オイラー・マクローリンの公式は和と積分を結び付け、端点補正が精度をどのように向上させるかを説明する。参考文献7を参照。ガウス公式は滑らかな関数に対して高い代数的精度を達成する一方、直交多項式とその根の計算を必要とする。

実用上、被積分関数は特異性を持つことがあり、激しく振動することも、離散データによって定義されることもある。それぞれの場合に適する戦略は異なる。適応的な細分化は局所的な不規則性に有効であり、変数変換は端点特異性を扱いやすくし、多次元ではモンテカルロ法または準モンテカルロ法がしばしば望ましい。アルゴリズムに関する参考資料と実装は、参考文献8、参考文献9、参考文献10で見つけられる。

歴史的には、主要な公式に付された名称はその発展を反映している。ニュートンとコーツは多項式に基づく合成公式、ガウスは最適な節点選択、オイラーとマクローリンは和と積分の漸近的な関係に対応する。歴史的な議論については参考文献11および参考文献12を参照。留意すべき区別として、求積法は一次元の数値積分、キュバチュアは高次元の積分を指すこと、また決定論的方法と確率論的方法があることが挙げられる。これらの手法群により、数値積分は科学計算、工学シミュレーション、データ解析に不可欠な要素となっている。