極座標系：定義、性質、応用

基本的な定義と記法

平面上の点は (r, θ) と書き表される。ここで、r は非負または符号付きの動径距離、θ は極軸から測った角度である。極は直交座標幾何学における原点に対応する。角度は通常ラジアンまたは度で測定され、完全な一回転を法として扱われるため、θ と θ+2π は同じ方向を表す。座標に関する厳密な規則と慣例については慣例を参照。

極座標と直交座標の変換

極座標は、簡単な三角関数の公式により直交座標 (x, y) と関係付けられる。(r, θ) が与えられたときは次のとおりである。

• x = r cos θ
• y = r sin θ

逆に、(x, y) が与えられたときは次のようになる。

• r = sqrt(x² + y²)
• θ = atan2(y, x)（象限および分枝の選択に注意する）

これらの変換は解析幾何学やコンピュータグラフィックスで用いられる。変換に関する注記および計算を参照。

性質と複数の表現

極座標は一意ではない。1つの点は無限に多くの組で表すことができ、任意の整数 n に対して (r, θ) と (r, θ+2πn) は同じ点を表す。また、r を負にして θ を π だけずらすこともでき、(−r, θ) = (r, θ+π) である。極そのものは r = 0 であり、θ は任意である。これらの特徴は方程式を解く際に有用だが、グラフを解釈する際には注意を要する。分枝の選択については分枝を参照。

代表的な極曲線とグラフ化

多くの古典的な平面曲線は、簡潔な極方程式で表現できる。例として、次のものがある。

• 極を中心とするとは限らない円：r = a cos θ + b sin θ。
• アルキメデスの螺旋などの螺旋：r = a + bθ。
• カージオイドおよびリマソンの族：r = a + b cos θ、または r = a + b sin θ。
• バラ曲線：r = a cos(nθ) または r = a sin(nθ) であり、花弁状の図形を生じる。

極座標での作図では通常、θ を独立変数として扱い、平面上に r(θ) を描く。専用の作図ソフトウェアと解析手法については極座標プロットを参照。

応用と関連分野

極座標は数学、物理学、工学の広い分野に現れる。点の周囲の場、軌道運動、波面、極座標領域における境界値問題など、円形対称性をもつ問題を簡単にする。複素解析では、極形式 z = r eiθ が絶対値と偏角を直接結び付け、複素数表現の中心的な考え方となる。複素形式を参照。極座標の手法はまた、微積分における極座標積分や、偏微分方程式および数値シミュレーションで用いられる座標変換の基礎でもある（応用を参照）。

極座標の手法の発展と標準化に関する歴史的背景、および追加の文献については、歴史と参考文献にある入門的な歴史資料と教科書を参照。