トーラス：幾何学、位相幾何学、種類、測定、応用

トーラスは、円を回転させてできる輪状の曲面または立体です。幾何学と位相幾何学で研究され、主半径・副半径、面積と体積の公式、いくつかの種類や用途があります。

概要

トーラスは、見た目がドーナツやタイヤチューブに似た、なじみのある輪状の形である。初等幾何学では、円を三次元空間の外側の直線のまわりに回転させることで得られる。イメージとしては、管を曲げて両端をつなぎ、中央に穴のある曲面を作る形である。この構成では、円形の断面を回転させ、その回転軸は通常、生成円と同一平面上にある。

$r$ $R$

基本的な幾何とパラメータ

標準的なリング状トーラスでは、ふつう2つの半径で表す。副半径 r は管の円形断面の半径であり、主半径 R は管の中心から輪の中心までの距離である。円を外部の同一平面上の軸のまわりに回転させる標準的なトーラスでは、リングトーラスとなる条件は R > r である。R = r のときはホーン・トーラス、R < r のときは自己交差を起こすスピンドル・トーラスになる。軸が生成円に接するとき、この特殊な場合はホーン・トーラスと呼ばれる。

回転体としてのトーラスの表面積 A と、それに対応する立体トーラスの体積 V は、管を回転させたものとして扱うことで簡単な閉形式で表せる。表面積は A = 4π² R r であり、半径 r の充填された円板を軸のまわりに回転させてできる立体トーラスの体積は V = 2π² R r² である。これらの式は、管の中心が描く円の長さが 2πR であり、そこに断面の周長や面積が掛かると考えると理解しやすい。

${\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr\end{aligned}}$ $r$ $2\pi R$

位相的観点

位相幾何学の観点では、トーラスは種数1のコンパクトな曲面の標準例である。穴が1つあるため、種数1の曲面として分類される。位相的に同値な曲面は、切断せずに曲げたり伸ばしたりして互いに移せるので、一見異なる形でも多くが位相的にはトーラスである。トーラスには2つの独立した方向に非自明なループがあり、その基本群は2つの無限巡回群の直積（しばしば Z×Z と書かれる）に同型である。これは、2つの独立した周期があることを反映している。

パラメータ表示と座標形

座標表示では、回転トーラスは角度パラメータ θ と φ を用いてよく表される。曲面上の点は次のように書ける。x=(R+r cosθ) cosφ、y=(R+r cosθ) sinφ、z=r sinθ。ここで 0≤θ, φ <2π である。これらのパラメータ表示は、面積や曲率の計算、また物理や工学モデルで積分を立てる際に有用である。

${\begin{aligned}V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}\end{aligned}}$ $r$ $2\pi R$

変種、トロイドと立体

より一般には、他の平面図形を軸のまわりに回転させるとトロイドが得られ、充填された円板を回転させると立体トーラスが得られる（これは円板と円の積と同等である）。日常的な立体トーラスの例には、ドーナツやベーグル、Oリング、いくつかの機械用シールがある。工学では、連続した中央の穴をもつコンパクトな形が必要なときにトロイダルな形状が好まれ、たとえばトロイダルインダクタ、円盤状シール、いくつかの容器設計などに用いられる。

応用と主な性質

トーラスは数学や応用科学の各所に現れる。微分幾何学や力学系では、平坦な計量や周期的な流れを支えられるため重要である。物理学では、輪のまわりの回転対称性をもつ問題に対してトロイダル座標が役立つ。コンピュータグラフィックスでは、トーラスはモデリングやテクスチャマッピングでよく使われる基本形状である。実用工学では、コンパクトな収容、輪における構造強度、配管や配線における連続した円形経路の確保といった利点が生かされる。

区別と実用上の注意

リングトーラスは R > r で中央の穴がはっきりしている。ホーン・トーラスは R = r、スピンドル・トーラスは R < r である。
上の面積と体積の式は標準的な回転トーラスに適用される。断面が円でない場合や変形がある場合は値が変わり、個別の計算が必要になる。
トーラスを異なるループに沿って切ると結果が変わる。子午線に沿って切ると円柱になり、経線状のループに沿って切ると位相的に別の帯になる。

入門的な図示や模型については、円を回転させる基本や回転の過程に関する説明を参照するとよい。さらに、回転の軸、平面上の接線関係、表面積と体積に関する項目には、具体例がある。幾何学的な構成、代数的なパラメータ表示、位相的分類というこれらの視点を合わせることで、トーラスは具体的な形であると同時に、基本的な数学的対象としても理解できる。