凸関数：定義・特徴づけ・例・性質・応用

特徴づけと判定基準

凸性には、一般に用いられる同値な記述がいくつかある。その一つはエピグラフによるものである。f が凸関数であることと、そのエピグラフ、すなわちグラフ上またはグラフより上にある点の集合が凸集合であることは同値である。詳細はエピグラフによる判定基準および凸集合を参照。微分可能な関数では、すべての x,y に対して f(y) ≥ f(x) + ∇f(x)·(y−x) が成り立つという一階条件が、凸性と同値である。開集合上で2回微分可能な場合、凸性は各点においてヘッセ行列が半正定値であることと同値である。

例と基本的な事実

• すべての線形関数は、凸関数であると同時に凹関数でもある。
• ノルム、絶対値、半正定値行列をもつ二次形式、実数全体での指数関数、および (0,∞) 上の -log x のような関数は、標準的な凸関数の例である。
• 狭義凸性は定義不等式を強める性質であり、最小化関数が存在する場合にはその一意性を意味する。

凸性を保つ演算

凸関数の集合は、非負の重み付き和、各点での上限、および多くの状況における増加凸関数との合成に関して閉じている。イェンセンの不等式は凸性を平均および期待値と結び付ける。確率論的な見方については加重平均とイェンセンの不等式を参照。劣勾配と支持超平面は微分を一般化する概念であり、f が微分不可能な場合に中心的な役割を果たす。

応用と歴史

現代的な形式研究は、凸幾何学と不等式論から発展した。凸関数は凸最適化の基礎であり、任意の局所最小値が大域的最小値となる。この事実は、経済学における効用・費用モデル、統計学と機械学習における凸損失関数、制御理論などで活用される。不等式の手法と追加の背景については凸性に関する不等式、応用的な文献についてはエピグラフと変分法を参照。

理論、アルゴリズム、応用に関する入門的および詳細な説明は、関連する資料と概説を参照のこと：概要、凸集合、ならびに支持超平面理論、ルジャンドル変換、最適化における双対性を扱う専門的な解説。