底辺（幾何学）：定義、多角形と立体における役割

記号、性質、おもな公式

底辺は面積の概念と密接に結び付いている。三角形の面積は、選んだ底辺とそれに対応する高さの積の半分、すなわち 面積 = (1/2)・b・h である。平行四辺形、長方形、菱形では、面積 = b・h となる。台形など、平行な二辺をもつ多角形では、その二辺を通常は底辺と呼び、面積公式にも対称的に現れる。底辺の選び方によって高さとして測る線分は変わり得るが、正しく計算する限り、面積の数値は変わらない。

三次元立体における底面

立体を構成または記述する際には、底辺に相当する語は、体積、断面、向きの基準となる特定の面を指すことが多い。たとえば四面体は、一つの三角形の面を底面とし、反対側の頂点までの垂直な高さを測ることで記述できる。立方体では、6つある正方形の面（正方形）のいずれかを底面として選べる。さらに一般に、角柱と円柱は、平面図形を底面として押し出すことにより名付けられ、計算される。円柱では円形の底面（円）が用いられ、斜めの場合またはより一般的な場合には、楕円が生成面となることもある。角錐は多角形の底面をもち、四角錐では底面は長方形または正方形であり、三角形の側面が頂点で交わる。体積公式にも底面の役割は反映される。角柱と円柱の体積は底面積と高さの積に等しく、角錐と円錐では底面積と高さの積の3分の1となる。

慣例、選択、次元

特定の辺または面を底辺・底面と定めることには、慣例的な面と機能的な面がある。初等的な問題では、高さを鉛直な線分として示しやすくするため、底辺は水平に描かれることが多い。解析的な場面では、座標軸または特定の辺を基準として選ぶことがある。この考え方は、三次元の測定の基準として一つの面を扱う場合、二次元を超えて拡張される。高度な幾何学では、多角形の面が複合立体の底面となる場合や、基礎となる図形を繰り返して敷き詰めや高次元の類似物を形成する場合など、複合的な構成においても「底」という概念が現れることがある。

実用例と重要な区別

• 三角形：どの辺も底辺として選べる。高さは、対頂点からその辺への垂直距離である。
• 平行四辺形と長方形：対辺は等しいため、平行な辺のいずれも面積計算の底辺となり得る。
• 台形：二つの平行な辺を通常は底辺と呼び、面積公式では両方が用いられる。
• 角柱・円柱：底面は、軸に沿って移動される合同な面である。体積 = 底面積 × 高さ。
• 角錐・円錐：底面は一つの面、多角形または円である。体積 = (1/3) × 底面積 × 高さ。

与えられた文脈で底辺または底面が何を意味するかを理解すれば、多くの幾何学的な論証や計算を簡潔にできる。底辺・底面の選択には柔軟性があるが、標準的な面積・体積公式を正しく適用するには、それに対応する垂直な測定値、すなわち高さと組み合わせなければならない。平面図形と立体の概念については、幾何学、三角形、角錐、円柱の項目も参照。