デカルト座標系：軸・方程式・応用

軸、座標、表記法

平面上で用いる二つの垂直な直線は軸と呼ばれる。慣例として水平軸には x、垂直軸には y の記号を付け、その交点を原点といい、(0, 0) と表す。順序対の第1の数は x 軸に沿った変位、すなわち横座標を表し、第2の数は y 軸に沿った変位、すなわち縦座標を表す。軸の向きと単位は目的に応じて選ばれる。図形の形を保つために両軸を同じ縮尺にすることもあれば、実用上の理由から異なる縮尺にすることもある。この考え方は z 軸を加えることで3次元へ、さらに必要な数の座標を加えることで高次元空間へ拡張できる。関連する概念については、座標系および位置を参照。

代数的表現と代表的な方程式

この系の重要な強みの一つは、幾何学的対象を代数方程式で表現できることである。平面上の直線は y = mx + b と書け、m は傾き、b は切片である。原点を中心とし半径が r の円は、x^2 + y^2 = r^2 を満たす。放物線、楕円、双曲線もデカルト座標では簡潔な代数的記述をもち、交点、接線、その他の性質を代数操作によって容易に解析できる。代表例には次のものがある。

• 直線：y = mx + b
• 円：x^2 + y^2 = r^2
• 放物線：y = ax^2 + bx + c
• 楕円および双曲線：x と y の二次形式

方程式の解をプロットするとグラフが得られる。すなわち、各解の組は、その方程式を満たす座標をもつ一点に対応する。このように代数と幾何学を結び付けたことが、解析幾何学の発展、さらに後の微積分学の発展につながった。

高次元とベクトル

デカルト的な方法は、第3の垂直な軸 z を加えることで自然に3次元へ一般化され、このとき点は (x, y, z) と表される。高次元では、点は (x_1, x_2, ..., x_n) のような組であり、一般にベクトルとして扱われる。このため座標系は線形代数と密接に結び付く。座標は回転、拡大縮小、せん断のもとで行列により変換される。このようなベクトルに基づく記述は、物理学、コンピュータグラフィックス、工学シミュレーションに不可欠である。入門的事項については、3次元、4次元、次元を参照。

歴史と発展

この系は、17世紀に代数と幾何学を結び付ける考えを提唱したルネ・デカルトにちなんで名付けられた。彼の著作は、二つの垂直な直線を用いて平面上の位置を測定する方法、および代数方程式が幾何学的曲線に対応することを示した。『方法序説』や『幾何学』などの著作で展開されたこの洞察は、解析幾何学の基盤を築き、その後の微積分学と近代数学の形成に影響を与えた。歴史的背景については、デカルト、代数、ユークリッド幾何学も参照。

応用と例

デカルト座標は科学と工学の広い分野で使用される。物理学では位置、速度、力を記述し、コンピュータグラフィックスではピクセルの位置決めや3次元場面のモデル化に用いられる。航法と地図作成では、地図投影と座標参照の基礎をなす。統計学とデータ分析では、散布図がデカルト軸を利用して二つの変数間の関係を示す。教室での基本的な例としては、点のプロット、直線や円のスケッチ、連立一次方程式をグラフによって解くことが挙げられる。応用例については、微積分学、地図作成、コンピュータグラフィックスを参照。

重要な区別と注目すべき事実

デカルト座標は、直交方向の距離ではなく半径と角度によって点を記述する極座標など、別の座標系とは異なる。適切な座標系を選ぶことで、問題解決が簡単になることが多い。ある点を中心とする対称性は極座標に適し、長方形的な対称性はデカルト座標に適している。軸が正規直交基底を成す場合、その直交性により距離と角度を容易に復元できる。そうでない場合、座標の公式には尺度因子が組み込まれる。座標変換と基底の変更は、線形代数および解析幾何学の中心的な概念である。

実用上の留意点と慣例

一般的な慣例では、x 軸の右向きを正、y 軸の上向きを正とするが、分野によっては便宜上、利き手系を逆にすることもある。格子線、目盛り、一貫した単位は、プロット時に比率を保つのに役立つ。代数的に扱う際には、F(x,y)=0 のような陰関数表示と、x(t)、y(t) のような媒介変数表示は、曲線を表す等価な方法である。詳しくはプロットおよび媒介変数方程式を参照。